科目代码:04184

科目名称:线性代数(经管类)

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《线性代数(经管类)》自学考试大纲

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第一章 行列式

(一)考核知识点

1.行列式定义。

2.行列式的性质与计算。

3.克拉默(Cramer)法则。

(二)自学要求

学习本章,要确切了解行列式的定义;理解行列式的性质;熟练掌握行列式的计(特别是低阶的数

字行列式和具有特殊形状的文字或数字行列式),会计算简单的行式;理解克拉默法则在线性方程组求

解理论中的重要性。

本章的重点;行列式的性质与计算。

难点;n 阶行列式的计算

(三)考核要求

1.行列式的定义。要求达到“识记”层次。

1.1 熟练计算二阶与三阶行列式。

1.2 清楚行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。

1.3 了解行列式的按其第一列展开的递归定义。

1.4 熟记三角行列式的计算公式。

2.行列式的性质与计算。要求达到“简单应用”层次。

2.1 掌握并会熟练运用行列式的性质。

2.2 掌握行列式的基本方法。

2.3 回计算具有特殊形状的数字和文字行列式以及简单的 n 阶行列式。

2.4 低阶范德蒙德行列式的计算。

3.克拉默法则。要求达到“简单应用”层次。

3.1 知道克拉默法则。

3.2 会用克拉默法则求解简单的线性方程组。

第二章 矩阵

(一)考核知识点

1.矩阵的各种运算的定义及其运算律。重点是矩阵的乘法。

  1. 分快矩阵的定义及其运算。

3.逆矩阵的定义与性质,伴随矩阵,方阵可逆的判别条件。

4.矩阵的初等变换和初等矩阵。

5.可逆矩阵的逆矩阵的求法。

6.矩阵的秩的定义与求法。

(二)自学要求

学习本章,要求掌握矩阵的各种运算及其运算法则;知道方阵可逆的充分必要条件;会求可逆矩阵

的逆矩阵;熟练掌握矩阵的初等变换;理解矩阵的秩定义,会求矩阵的秩。

本章的重点;矩阵运算及其矩阵的求法,矩阵的初等变换。

难点;逆矩阵的求法及矩阵的概念。

(三)考核要求

1.矩阵的定义。要求达到“识记”层次。

1.1 理解矩阵的定义。

1.2 知道三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵和零矩阵的定义。

1.3 清楚矩阵与行列式是两个有本质区别的概念,清楚矩阵与行列式符号的区别。

2.矩阵运算及其运算规律。要求达到“综合应用”层次

2.1 掌握矩阵相等与加、减法的定义及其可运算的条件和运算律,

2.2 理解数乘矩阵运算的定义

2.3 掌握矩阵乘法的定义和可乘条件;掌握矩阵乘法的运算法则;注意矩阵乘法不满足交换定律和

消去律,知道矩阵乘法与数的乘法的区别。

2.4 会用方阵行列式的乘法与数的乘法的区别。

2.5 知道矩阵转置的定义和转置的运算律,特别注意

2.6 知道对称矩阵和反对称矩阵的定义。

3.方阵的逆矩阵。要求达到“领会”层次。

3.1 理解可逆矩阵的概念与性质。

3.2 熟练掌握方阵可逆条件和求逆运算律,知道

是 A 可逆的充要条件。

3.3 理解方阵的伴随矩阵的定义。会用两个基本结论:

3.4 会用伴随矩阵求二阶和三阶矩阵的逆矩阵。

3.5 会解矩阵方程。

4.分块矩阵。要求达到“识记”层次

4.1 知道分块矩阵的定义。

4.2 理解分块矩阵的加法、数科和乘法运算以及分块矩阵的转置运算。

4.3 会求准对有矩阵的逆矩阵和准三角矩阵的行列式。

5.矩阵的初等变换与初等方阵。要求达到“简单应用”层次。

5.1 理解矩阵的初等变换和初等方阵的定义及其相互之间的关系。

5.2 知道初等方阵的逆矩阵

5.3 知道矩阵等价的概念和矩阵的等价标准形。

5.4 会利用矩阵的初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵。

6.矩阵的秩的定义。要求达到“领会“层次”。

6.1 理解矩阵的秩的定义。

6.2 知道方阵满秩的概念及其性质。

7.矩阵的物件求法。要求达到“简单应用”层次。

7.1 会根据定义求比较简单的矩阵的秩。

7.2 会用矩阵的初等行变换化矩阵为阶梯形矩阵,并求出矩阵的秩。

第三章

向量空间

(一)考核知识点

1.n 维向量及其线性运算,n 维向量空间 的概念。

2.向量的线性组合的定义和线性组合系数的计算。

3.向量的线性相关和线性无关的概念及其判别法。

4.向量组等价的概念。

5.向量组的极大无关组与向量组的秩的定义及其求法。

6.向量组的秩与矩阵的秩的关系。

7.子空间及其基、维数和坐标的概念。

(二)自学要求

学习本章,要求知道 n 维向量的概念;掌握向量是同维向量组的线性组合的概率和组合系数的求法;

理解向量组线性相关与线性无关的定义和判别法;理解向量组的极大无关组的定义和向量组的秩的定

义;会求向量组的极大无关和向量组的秩;清楚向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。知道向量空间 的

定义和向量空间的基与维数和坐标的概念。

本章重点;线性组合系数的求法;向量组线性相关和线性无关的定义及其判别法;求向量组的秩。

难点;向量组线性相关和线性无关的判别法;向量组秩的概念。

(三)考核要求

1.n 维向量的定义和向量组的线性组合。要求达到“简单应用”层次。

1.1 知道 n 维向量的定义。

1.2 掌握向量的线性运算法则。

1.3 理解向量是向量组的线性组合(即某向量可用某向量组线性表出)性方程组形式表示法。

1.4 掌握求线性组合系数的方法。

2.向量组的线性相关与线性无关。要求达到“简单应用”层次。2.1 理解向量组线性相关和线性无关的定义。

2.2 掌握求线性相关系数的方法(解齐次线性方程组)。

3.向量组的极大无关组合向量许的秩。要求达到“简单应用”层次。

3.1 理解两个向量组等价的概念。

3.2 理解向量组的极大线性无关组的定义及其与原始向组的等价关系,的极大线性无关组

3.3 理解向量组的秩的概念,并会求向量组的秩。

4 向量组的秩与矩阵的秩的关系。要求达到“识记”层次

4.1 知道矩阵的行秩与列秩的定义及其矩阵的秩的关系。

4.2 熟知关于矩阵的秩的重要结论。

5.向量空间。要求达到“识记”层次。

5.1 知道向量空间及其子空间的定义。

5.2 知道向量空间的基和维数的概念。

5.3 会求向量在某个基下的坐标。

第四章 线性方程组

(一)考核知识点

1.齐次线性方程组有非零解的充要条件。

2.齐次线性方程组解的性质与解空间、基础解系和通解的概念。

3.齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。

4.非齐次线性方程组有解及有惟一解的充要条件。

5.非齐次线性方程组解的性质与解的结构。

6.非齐次线性方程的通解的求法。

(二)自学要求

学习本章,要求熟练掌握齐次线性方程组的解空间、基础解系及通解的含义和求法,熟练掌握非

齐次线性议程组的有解判别法和通解的求法。

本章重点:齐次线性方程组有非零解的充要条件;非齐次线性方程组有解的充要条件;会用矩阵的

初等行变换求解线性议程组。

难点:齐次线性方程组的基础解系的求法。

(三)考核要求

1.齐次线性方程组有非零解的充要条件。要求达到“领会”层次。

1.1 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件。

2.齐次线性方程组解的性质与解空间。要求达到“领会”层次。

2.1 理解齐次线性方程组解的性质。

2.2 理解齐次线性方程组的解空间的概念。

3.齐次线性方程组的基础解系与通解。要求达到“综合应用”层次。

3.1 理解齐次线性方程组的基础解系的定义,会判定基础解系所含向量的个数。

3.2 掌握用矩阵初等行变换求齐次线性方程组的基础解系的方法;会化齐次线性方程组的系数矩阵

为简化行阶梯形矩阵;会写出方程组的通解。

4.非齐次线性方程组有解的充要条件。要求达到“领会”层次。

4.1 理解非齐次线性方程组有解的判别定理。

4.2 掌握非齐次线性方程组有惟一解,有无穷多解的判别方法。

4.3 会讨论含参数的非齐次线性方程组的求解问题。

5.非齐次线性方程组解的性质、解的结构和通解的求法。要求达到“综合应用”层次。

5.1 理解非齐次线性方程组的解与它对应的齐次线性方程组(即导出组)的解之间的关系。

5.2 熟练掌握非齐次线性方程组的通解的求法。

第五章 特征值与特征向量

(一)考核知识点

1.实方阵的待征值和待征向量的定义、性质与计算。

2.同阶实方阵相似的定义与性质。

3.方阵的相似对角化。

4.实向量的内积、长度及其正交性。

5.正交向量组与正交矩阵。

6.施密特正交化方法。

7.实对称矩阵的正交相似对角化。

(二)自学要求

学习本章,要求熟练掌握实方阵的特征值和特征向量的定义与求法;了解特征值与特征向量的性质;

清楚两个同阶方阵相似的定义和性质;理解方阵与对角矩阵相似的条件并会用相似变换化方阵为对角矩

阵;会计算两个实向量的内积和向量的长度,会判定两个向量是否正交;了解正交向量组的定义,会用

施密特方法把线性无关向量组化为等价的正交单位向量组;了解正交矩阵的定义、性质及其判定方法;

了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质;会用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵。

本章重点:求实方阵的特征值和特征向量;方阵可相似对角化的条件和方法;方阵的相似对角化;

实对称矩阵的正交相似对角化。

难点:方阵与实对称矩的相似标准形的求法。

(三)考核要求

1.特征值和特征向量。要求达到“简单应用”层次。

1.1 理解实方阵的特征值和特征向量的定义。

1.2 理解实方阵的特征值和特征向量的性质,会求给定矩阵的特征值和特征向量。

2.相似矩阵的实义与性质。要求达到“领会”层次。

2.1 理解矩阵相似的定义和相似矩阵的基本性质。

3.方阵相似对角化。要求达到“简单应用”层次。

3.1 熟知 n 阶实方阵相似于对角矩阵的充分必要条件。

3.2 熟知 n 阶实方阵相似于对角矩阵的一个充分条件:A 有 n 个互不相同的特征值。

3.3 掌握用相似变换化方阵为对角矩阵的方法。

4.向量内积和正交矩阵。要求达到“领会”层次。

4.1 清楚向量内积的定义和基本性质,会计算向量的内积。

4.2 知道向量的长度的定义和把非零向量单位化。

4.3 理解两个向量正交的概念,会判定两个非零向量是否正交。

4.4 知道标准正交向量组的定义及其线性无关性。

4.5 熟练掌握正交矩阵的定义及其性质。

4.6 掌握线性无关向量组的施密特正交化方法。

5.实对称矩阵的性质。要求达到“识记”层次。

5.1 知道实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

5.2 知道实对称矩阵必正交相似于对角矩阵。

6.实对称矩阵的正交相似标准形。要求达到“简单应用”层次。

6.1 会求实对称矩阵的正交相似标准形。

第六章 实二次型

(一)考核知识点

1.实二次型的定义及其矩阵表示。

2.矩阵合同的定义。

3.实二次型的标准形。

4.惯性定理与实二次型的规范形。

5.正定二次型和正定矩阵的概念与判定方法。

(二)自学要求

学习本章,要求理解实二次型的定义及其矩阵表示;了解实二次型的标准形;了解全同矩阵的概念;

会用正交变换化二次型为标准形;了解用配方法化二次型为合同标准化;知道惯性定理;理解正定二次

型和正定矩阵的定义。掌握正定二次型和正定矩阵的判别方法。

本章重点:化二次型为标准形以及正定二次型和正定矩阵的判别方法。

难点:用正交变换化二次型为标准形。

(三)考核要求

1.实二次型的定义及其矩阵表示。要求达到“领会”层次。

1.1 知道实二次型的定义及其矩阵表示。

2.实二次型的标准形。要求达到“领会”层次。

2.1 知道实二次型的标准形。

2.2 知道矩阵合同的定义。

3.化实二次型为标准形。要求达到“简单应用”层次。

3.1 知道正交变换的定义。

3.2 掌握用正交变换化实二次型为标准形的方法。

3.3 知道用配方法化实二次型为标准形的方法。

4.惯性定理与二次型的规范形。要求达到“识记”层次。

4.1 知道惯性定理,知道二次型的秩及二次型的正、负惯性指数及符号差。

4.2 知道二次型的规范形。

5.正定二次型与正定矩阵。要求达到“领会”层次。

5.1 理解正定二次型和正定矩阵的概念。

5.2 掌握正定二次型和正定矩阵的判别方法

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