科目代码：04184
科目名称：线性代数（经管类）
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《线性代数（经管类）》自学考试大纲
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第一章 行列式
（一）考核知识点
1.行列式定义。
2.行列式的性质与计算。
3.克拉默（Cramer）法则。
（二）自学要求
学习本章，要确切了解行列式的定义；理解行列式的性质；熟练掌握行列式的计（特别是低阶的数
字行列式和具有特殊形状的文字或数字行列式），会计算简单的行式；理解克拉默法则在线性方程组求
解理论中的重要性。
本章的重点；行列式的性质与计算。
难点；n 阶行列式的计算
（三）考核要求
1.行列式的定义。要求达到“识记”层次。
1.1 熟练计算二阶与三阶行列式。
1.2 清楚行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。
1.3 了解行列式的按其第一列展开的递归定义。
1.4 熟记三角行列式的计算公式。
2.行列式的性质与计算。要求达到“简单应用”层次。
2.1 掌握并会熟练运用行列式的性质。
2.2 掌握行列式的基本方法。
2.3 回计算具有特殊形状的数字和文字行列式以及简单的 n 阶行列式。
2.4 低阶范德蒙德行列式的计算。
3.克拉默法则。要求达到“简单应用”层次。
3.1 知道克拉默法则。
3.2 会用克拉默法则求解简单的线性方程组。
第二章 矩阵
（一）考核知识点
1.矩阵的各种运算的定义及其运算律。重点是矩阵的乘法。
- 分快矩阵的定义及其运算。
3.逆矩阵的定义与性质，伴随矩阵，方阵可逆的判别条件。
4.矩阵的初等变换和初等矩阵。
5.可逆矩阵的逆矩阵的求法。
6.矩阵的秩的定义与求法。
（二）自学要求
学习本章，要求掌握矩阵的各种运算及其运算法则；知道方阵可逆的充分必要条件；会求可逆矩阵
的逆矩阵；熟练掌握矩阵的初等变换；理解矩阵的秩定义，会求矩阵的秩。
本章的重点；矩阵运算及其矩阵的求法，矩阵的初等变换。
难点；逆矩阵的求法及矩阵的概念。
（三）考核要求
1.矩阵的定义。要求达到“识记”层次。
1.1 理解矩阵的定义。
1.2 知道三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵和零矩阵的定义。
1.3 清楚矩阵与行列式是两个有本质区别的概念，清楚矩阵与行列式符号的区别。
2.矩阵运算及其运算规律。要求达到“综合应用”层次
2.1 掌握矩阵相等与加、减法的定义及其可运算的条件和运算律，
2.2 理解数乘矩阵运算的定义
2.3 掌握矩阵乘法的定义和可乘条件；掌握矩阵乘法的运算法则；注意矩阵乘法不满足交换定律和
消去律，知道矩阵乘法与数的乘法的区别。
2.4 会用方阵行列式的乘法与数的乘法的区别。
2.5 知道矩阵转置的定义和转置的运算律，特别注意
2.6 知道对称矩阵和反对称矩阵的定义。
3.方阵的逆矩阵。要求达到“领会”层次。
3.1 理解可逆矩阵的概念与性质。
3.2 熟练掌握方阵可逆条件和求逆运算律，知道
是 A 可逆的充要条件。
3.3 理解方阵的伴随矩阵的定义。会用两个基本结论：
3.4 会用伴随矩阵求二阶和三阶矩阵的逆矩阵。
3.5 会解矩阵方程。
4.分块矩阵。要求达到“识记”层次
4.1 知道分块矩阵的定义。
4.2 理解分块矩阵的加法、数科和乘法运算以及分块矩阵的转置运算。
4.3 会求准对有矩阵的逆矩阵和准三角矩阵的行列式。
5.矩阵的初等变换与初等方阵。要求达到“简单应用”层次。
5.1 理解矩阵的初等变换和初等方阵的定义及其相互之间的关系。
5.2 知道初等方阵的逆矩阵
5.3 知道矩阵等价的概念和矩阵的等价标准形。
5.4 会利用矩阵的初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵。
6.矩阵的秩的定义。要求达到“领会“层次”。
6.1 理解矩阵的秩的定义。
6.2 知道方阵满秩的概念及其性质。
7.矩阵的物件求法。要求达到“简单应用”层次。
7.1 会根据定义求比较简单的矩阵的秩。
7.2 会用矩阵的初等行变换化矩阵为阶梯形矩阵，并求出矩阵的秩。
第三章
向量空间
（一）考核知识点
1.n 维向量及其线性运算，n 维向量空间 的概念。
2.向量的线性组合的定义和线性组合系数的计算。
3.向量的线性相关和线性无关的概念及其判别法。
4.向量组等价的概念。
5.向量组的极大无关组与向量组的秩的定义及其求法。
6.向量组的秩与矩阵的秩的关系。
7.子空间及其基、维数和坐标的概念。
（二）自学要求
学习本章，要求知道 n 维向量的概念；掌握向量是同维向量组的线性组合的概率和组合系数的求法；
理解向量组线性相关与线性无关的定义和判别法；理解向量组的极大无关组的定义和向量组的秩的定
义；会求向量组的极大无关和向量组的秩；清楚向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。知道向量空间 的
定义和向量空间的基与维数和坐标的概念。
本章重点；线性组合系数的求法；向量组线性相关和线性无关的定义及其判别法；求向量组的秩。
难点；向量组线性相关和线性无关的判别法；向量组秩的概念。
（三）考核要求
1.n 维向量的定义和向量组的线性组合。要求达到“简单应用”层次。
1.1 知道 n 维向量的定义。
1.2 掌握向量的线性运算法则。
1.3 理解向量是向量组的线性组合（即某向量可用某向量组线性表出）性方程组形式表示法。
1.4 掌握求线性组合系数的方法。
2.向量组的线性相关与线性无关。要求达到“简单应用”层次。2.1 理解向量组线性相关和线性无关的定义。
2.2 掌握求线性相关系数的方法（解齐次线性方程组）。
3.向量组的极大无关组合向量许的秩。要求达到“简单应用”层次。
3.1 理解两个向量组等价的概念。
3.2 理解向量组的极大线性无关组的定义及其与原始向组的等价关系，的极大线性无关组
3.3 理解向量组的秩的概念，并会求向量组的秩。
4 向量组的秩与矩阵的秩的关系。要求达到“识记”层次
4.1 知道矩阵的行秩与列秩的定义及其矩阵的秩的关系。
4.2 熟知关于矩阵的秩的重要结论。
5.向量空间。要求达到“识记”层次。
5.1 知道向量空间及其子空间的定义。
5.2 知道向量空间的基和维数的概念。
5.3 会求向量在某个基下的坐标。
第四章 线性方程组
（一）考核知识点
1.齐次线性方程组有非零解的充要条件。
2.齐次线性方程组解的性质与解空间、基础解系和通解的概念。
3.齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。
4.非齐次线性方程组有解及有惟一解的充要条件。
5.非齐次线性方程组解的性质与解的结构。
6.非齐次线性方程的通解的求法。
（二）自学要求
学习本章，要求熟练掌握齐次线性方程组的解空间、基础解系及通解的含义和求法，熟练掌握非
齐次线性议程组的有解判别法和通解的求法。
本章重点：齐次线性方程组有非零解的充要条件；非齐次线性方程组有解的充要条件；会用矩阵的
初等行变换求解线性议程组。
难点：齐次线性方程组的基础解系的求法。
（三）考核要求
1.齐次线性方程组有非零解的充要条件。要求达到“领会”层次。
1.1 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件。
2.齐次线性方程组解的性质与解空间。要求达到“领会”层次。
2.1 理解齐次线性方程组解的性质。
2.2 理解齐次线性方程组的解空间的概念。
3.齐次线性方程组的基础解系与通解。要求达到“综合应用”层次。
3.1 理解齐次线性方程组的基础解系的定义，会判定基础解系所含向量的个数。
3.2 掌握用矩阵初等行变换求齐次线性方程组的基础解系的方法；会化齐次线性方程组的系数矩阵
为简化行阶梯形矩阵；会写出方程组的通解。
4.非齐次线性方程组有解的充要条件。要求达到“领会”层次。
4.1 理解非齐次线性方程组有解的判别定理。
4.2 掌握非齐次线性方程组有惟一解，有无穷多解的判别方法。
4.3 会讨论含参数的非齐次线性方程组的求解问题。
5.非齐次线性方程组解的性质、解的结构和通解的求法。要求达到“综合应用”层次。
5.1 理解非齐次线性方程组的解与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系。
5.2 熟练掌握非齐次线性方程组的通解的求法。
第五章 特征值与特征向量
（一）考核知识点
1.实方阵的待征值和待征向量的定义、性质与计算。
2.同阶实方阵相似的定义与性质。
3.方阵的相似对角化。
4.实向量的内积、长度及其正交性。
5.正交向量组与正交矩阵。
6.施密特正交化方法。
7.实对称矩阵的正交相似对角化。
（二）自学要求
学习本章，要求熟练掌握实方阵的特征值和特征向量的定义与求法；了解特征值与特征向量的性质；
清楚两个同阶方阵相似的定义和性质；理解方阵与对角矩阵相似的条件并会用相似变换化方阵为对角矩
阵；会计算两个实向量的内积和向量的长度，会判定两个向量是否正交；了解正交向量组的定义，会用
施密特方法把线性无关向量组化为等价的正交单位向量组；了解正交矩阵的定义、性质及其判定方法；
了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；会用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵。
本章重点：求实方阵的特征值和特征向量；方阵可相似对角化的条件和方法；方阵的相似对角化；
实对称矩阵的正交相似对角化。
难点：方阵与实对称矩的相似标准形的求法。
（三）考核要求
1.特征值和特征向量。要求达到“简单应用”层次。
1.1 理解实方阵的特征值和特征向量的定义。
1.2 理解实方阵的特征值和特征向量的性质，会求给定矩阵的特征值和特征向量。
2.相似矩阵的实义与性质。要求达到“领会”层次。
2.1 理解矩阵相似的定义和相似矩阵的基本性质。
3.方阵相似对角化。要求达到“简单应用”层次。
3.1 熟知 n 阶实方阵相似于对角矩阵的充分必要条件。
3.2 熟知 n 阶实方阵相似于对角矩阵的一个充分条件：A 有 n 个互不相同的特征值。
3.3 掌握用相似变换化方阵为对角矩阵的方法。
4.向量内积和正交矩阵。要求达到“领会”层次。
4.1 清楚向量内积的定义和基本性质，会计算向量的内积。
4.2 知道向量的长度的定义和把非零向量单位化。
4.3 理解两个向量正交的概念，会判定两个非零向量是否正交。
4.4 知道标准正交向量组的定义及其线性无关性。
4.5 熟练掌握正交矩阵的定义及其性质。
4.6 掌握线性无关向量组的施密特正交化方法。
5.实对称矩阵的性质。要求达到“识记”层次。
5.1 知道实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。
5.2 知道实对称矩阵必正交相似于对角矩阵。
6.实对称矩阵的正交相似标准形。要求达到“简单应用”层次。
6.1 会求实对称矩阵的正交相似标准形。
第六章 实二次型
（一）考核知识点
1.实二次型的定义及其矩阵表示。
2.矩阵合同的定义。
3.实二次型的标准形。
4.惯性定理与实二次型的规范形。
5.正定二次型和正定矩阵的概念与判定方法。
（二）自学要求
学习本章，要求理解实二次型的定义及其矩阵表示；了解实二次型的标准形；了解全同矩阵的概念；
会用正交变换化二次型为标准形；了解用配方法化二次型为合同标准化；知道惯性定理；理解正定二次
型和正定矩阵的定义。掌握正定二次型和正定矩阵的判别方法。
本章重点：化二次型为标准形以及正定二次型和正定矩阵的判别方法。
难点：用正交变换化二次型为标准形。
（三）考核要求
1.实二次型的定义及其矩阵表示。要求达到“领会”层次。
1.1 知道实二次型的定义及其矩阵表示。
2.实二次型的标准形。要求达到“领会”层次。
2.1 知道实二次型的标准形。
2.2 知道矩阵合同的定义。
3.化实二次型为标准形。要求达到“简单应用”层次。
3.1 知道正交变换的定义。
3.2 掌握用正交变换化实二次型为标准形的方法。
3.3 知道用配方法化实二次型为标准形的方法。
4.惯性定理与二次型的规范形。要求达到“识记”层次。
4.1 知道惯性定理，知道二次型的秩及二次型的正、负惯性指数及符号差。
4.2 知道二次型的规范形。
5.正定二次型与正定矩阵。要求达到“领会”层次。
5.1 理解正定二次型和正定矩阵的概念。
5.2 掌握正定二次型和正定矩阵的判别方法
